Nam châm vĩnh cửu là các vật được cấu tạo từ các vật liệu từ cứng có khả năng giữ từ tính không bị mất từ trường. Chúng làm từ vật liệu sắt từ, như sắt và nikel, đã bị từ hóa, chúng đều có cực Bắc và cực Nam.

Từ trường của nam châm vĩnh cửu

Từ trường của nam châm vĩnh cửu khá phức tạp, đặc biệt khi gần thanh nam châm. Từ trường của một thanh nam châm nhỏ, thẳng[nb 7] tỉ lệ với độ lớn của nam châm (gọi là mômen lưỡng cực từ m). Phương trình mô tả từ trường của nam châm cũng phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm cần tính đến thanh và hướng của thanh đó. Đối với thanh nam châm đơn giản, m chỉ theo hướng của đường vẽ từ cực Nam đến cực Bắc. Lật ngược thanh nam châm là tương đương với quay m một góc 180 độ.

Từ trường của thanh nam châm lớn có thể mô hình hóa bởi tập hợp các thanh nam châm nhỏ hơn gọi là lưỡng cực, mỗi lưỡng cực có giá trị m. Từ trường tạo ra bởi nam châm chính bằng tổng các từ trường của các lưỡng cực này. Và lực tác dụng của thanh lên vật khác chính bằng tổng các lực tác dụng của từng lưỡng cực.

Có hai mô hình khác nhau miêu tả bản chất của lưỡng cực. Chúng tương ứng với các trường H và trường B. Tuy nhiên, bên ngoài vật liệu thì chúng thể hiện giống nhau (khác nhau bởi độ lớn) cho nên nhiều tình huống có thể bỏ qua sự phân biệt này. Điều này đúng cho từ trường sinh ra bởi các dòng điện, mà không bởi các vật liệu từ.

Mô hình cực từ và trường H

Mô hình cực từ: hai cực trái dấu, Bắc (+) và Nam (−), cách nhau một khoảng d sinh ra trường H (các đường sức).

Đôi khi có ích khi mô hình lực và ngẫu lực tác dụng giữa hai nam châm là do các cực từ đẩy hoặc hút lẫn nhau giống như trong mô hình lực Coulomb giữa các điện tích. Trong mô hình này, từ trường H được sinh ra bởi các cặp từ tích tập trung tại mỗi cực của nam châm. Trường H do vậy tương tự như điện trường E, với các đường sức đi ra từ điện tích dương và đi vào điện tích âm. Do đó, gần cực Bắc mọi đường sức của H hướng ra khỏi cực Bắc (cho dù trong hay ngoài nam châm) trong khi gần cực Nam mọi đường sức của H hướng vào cực Nam (cho dù trong hay ngoài nam châm). Cho nên cực Bắc gây ra lực theo hướng của trường H trong khi cực Nam gây ra lực theo hướng ngược lại.

Trong mô hình cực từ, lưỡng cực từ cơ bản m bao gồm hai cực từ trái dấu có độ lớn qm nằm cách nhau bởi một vectơ khoảng cách nhỏ d, và từ đó m = qm d.

Các cực từ không thể đứng đơn lẻ; mọi nam châm đều có cặp cực Bắc/Nam mà không thể chia tách ra từng cực một được. Mô hình cực từ không giải thích được từ trường sinh ra do dòng điện trong dây dẫn, hay lực mà từ trường tác dụng lên điện tích chuyển động.

Mô hình vòng Ampère và trường B

Mô hình vòng Ampère: Một vòng dây dẫn đi vào trang giấy tại x và đi ra tại dấu chấm sinh ra từ trường B (các đường sức). Cực Bắc nằm ở bên phải còn cực Nam nằm ở bên trái.

Sau khi Oersted phát hiện ra dòng điện sinh ra từ trường và Ampère phát hiện ra rằng các dây dẫn có dòng điện chạy qua thì hút hoặc đẩy nhau tương tự như các nam châm, một cách tự nhiên người ta đã giả sử rằng mọi từ trường là do dòng điện trong dây dẫn tạo ra. Mô hình này do Ampère phát triển, lưỡng cực từ cơ bản hình thành lên nam châm là một vòng Ampère đủ nhỏ với dòng điện I. Mômen lưỡng cực của vòng là m = IA với A là diện tích của vòng dây.

Các vòng dây này sinh ra trường B. Một tính chất quan trọng của trường B sinh ra theo cách này đó là các đường sức từ của B không có điểm bắt đầu hay kết thúc (về mặt toán học, B là trường vectơ solenoid); một đường sức hoặc mở rộng ra vô hạn hoặc có dạng đường cong kín. Cho tới nay chưa thấy tìm thấy từ trường nào có đường sức với đặc điểm khác với mô hình này. (Xem đơn cực từ bên dưới.) Các đường sức từ ở nam châm trông có vẻ đi ra khỏi cực Bắc và đi vào cực Nam của nó, nhưng thực ra bên trong nam châm các đường sức B tiếp tục đi trong nam châm từ cực Nam đến cực Bắc.[nb 8] Nếu một đường sức B đi vào nam châm ở một điểm thì nó phải đi ra khỏi nam châm ở điểm khác; nó không được phép có điểm đầu cuối. Do vậy các cực từ luôn luôn là cặp N và S.

Về mặt hình thức, do mọi đường sức từ đi vào một vùng bất kỳ thì cũng đều phải đi ra khỏi vùng đó, hiệu của 'số'[nb 9] các đường sức đi vào với số các đường đi ra phải bằng không. Phát biểu này tương đương về mặt toán học:

∮ S ⁡ B ⋅ d A = 0 , {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0,}

ở đây tích phân mặt thực hiện trên mặt kín S. Quy ước vectơ dA hướng ra ngoài mặt, tích vectơ trong tích phân xác định dương cho đường sức trường B chỉ ra ngoài và âm cho đường sức chỉ vào trong.

Phương trình này cũng biểu diễn được dưới dạng vi phân (phương trình Maxwell ở dưới).

Lực giữa các nam châm

Lực giữa hai nam châm nhỏ là khá phức tạp và phụ thuộc vào độ lớn và hướng của cả hai nam châm cũng như khoảng cách tương đối giữa chúng. Lực này rất nhạy với sự quay của nam châm là do ngẫu lực từ. Lực tác dụng trên mỗi nam châm phụ thuộc vào mômen từ của nó và từ trường[nb 10] của nam châm kia.

Mô hình cực từ miêu tả ở trên khá có ích để hiểu lực tác dụng giữa hai nam châm. Trong mô hình này, trường H của một nam châm đẩy và kéo lên cả hai cực của nam châm kia. Nếu trường H là như nhau tại cả hai cực của nam châm này thì sẽ không có tổng hợp lực lên nam châm đó do lực tác dụng lên hai cực có chiều ngược nhau. Tuy nhiên, nếu từ trường của nam châm thứ nhất là không đều (như H tại gần cực của nó), thì mỗi cực của từ trường thứ hai sẽ đặt trong từ trường có độ lớn khác nhau và do vậy chúng chịu các lực khác nhau. Sự chênh lệch giữa hai lực làm chuyển động nam châm theo hướng tăng độ lớn của từ trường và có thể gây ra một ngẫu lực tổng cộng.

Đây là ví dụ cụ thể về quy tắc chung cho hai nam châm hút (hoặc đẩy nhau phụ thuộc vào hướng của nam châm) vào vùng có độ lớn từ trường tăng lên của nam châm kia. Bất kỳ một từ trường không đều nào, do nam châm vĩnh cửu hay do dòng điện sinh ra, đều tác dụng lực lên một nam châm nhỏ theo cách này.

Trong khi các chi tiết giải thích lực tác dụng giữa 2 nam châm của mô hình Ampère là khác và phức tạp hơn nhưng nó cho cùng một kết quả: lưỡng cực từ hút/đẩy nhau vào vùng có độ lớn từ trường tăng lên.Về mặt toán học, một nam châm nhỏ có mômen từ m khi đặt trong từ trường B chịu một lực:[17]

F = ∇ ( m ⋅ B ) , {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right),}

với gradien ∇ là sự thay đổi của đại lượng m • B trên đơn vị chiều dài và hướng là hướng theo sự tăng lớn nhất của m • B. Phân tích phương trình, ta thấy tích vô hướng m • B = mBcos(θ), với m và B là độ lớn của các vectơ m và B và θ là góc giữa chúng. Nếu m có cùng hướng với B thì tích vectơ là dương và gradien chỉ theo 'hướng lên' kéo nam châm vào vùng có từ trường B lớn hơn (nói cách cụ thể là lớn hơn m • B). Phương trình này chỉ đúng cho nam châm có kích thước nhỏ, nhưng nó cũng miêu tả xấp xỉ cho nam châm không quá lớn. Lực từ trên những nam châm lớn có thể xác định bằng cách chia nó ra thành những vùng nhỏ hơn, mỗi vùng có một giá trị mômen lực riêng m và sau đó cộng tổng các lực lại.

Ngẫu lực từ trên nam châm vĩnh cửu

Tích vectơ: |a × b| = a b sinθ.

Nếu ta mang hai cực cùng dấu của hai thanh nam châm lại gần nhau, và một nam châm cố định, một cái được phép di động, thì nam châm di động sẽ cố gắng quay để hướng cực trái dấu của nó đến cực cái cố định. Trong ví dụ này, từ trường của nam châm cố định tạo ra một ngẫu lực (hay mômen lưỡng cực) lên thanh nam châm quay tự do. Ngẫu lực τ có xu hướng làm cho các cực của thanh nam châm này hướng theo đường sức từ của nam châm cố định (định hướng theo chiều của từ trường). Ví dụ, một la bàn có kim luôn hướng theo từ trường Trái Đất.

Các động cơ điện hoạt động trên nguyên lý của ngẫu lực từ. Ở mô hình động cơ đơn giản, một nam châm gắn cố định với trục quay tự do và chịu một từ trường quay sinh ra từ các nam châm điện. Bằng cách liên tục làm đổi dòng điện chạy qua mỗi nam châm điện, do đó làm đảo cực của trường điện từ; ngẫu lực tổng cộng tác động lên nam châm gắn ở trục và làm nó quay liên tục. Xem từ trường quay bên dưới.

Ngẫu lực lên nam châm: Trường H (bên phải) tác động những lực có độ lớn bằng nhau nhưng chiều ngược nhau lên cực N (+q) và cực S (−q) sinh ra ngẫu lực.

Như trường hợp lực tác dụng giữa các nam châm, mô hình cực từ cho phép suy ra phương trình ngẫu lực một cách dễ dàng. Ở đây, lưỡng cực từ chịu. Ở đây hai điện tích q trái dấu (tương đương với lưỡng cực từ) đặt trong trường H chịu các lực có cùng độ lớn nhưng ngược hướng. Do hai lực bằng nhau và ngược hướng ở hai vị trí khác nhau sẽ tương đương với một ngẫu lực tác dụng lên hệ. Theo định nghĩa của m bằng độ lớn của điện tích q nhân với khoảng cách giữa hai điện tích d, và từ đây ngẫu lực τ = μ0mHsinθ, với μ0 là hằng số từ môi và θ là góc giữa hai vectơ H và m.

Mô hình vòng Ampère cũng cho kết quả cùng một ngẫu lực. Trường B tương tác với vòng Ampère thông qua lực Lorentz miêu tả ở bên dưới. Kết quả thu được là như nhau ở cả hai mô hình tuy cách lập luận khắc hẳn.

Về mặt toán học, ngẫu lực τ trên một nam châm nhỏ tỉ lệ với độ lớn từ trường ngoài và mômen từ m của nam châm:

τ = m × B = μ 0 m × H , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {m} \times \mathbf {H} ,\,}

với × là tích vectơ. Phương trình này chứa mọi lập luận ở trên. Không xuất hiện ngẫu lực nếu m có cùng hướng với từ trường. Hơn nữa, khi nam châm ở những hướng khác thì sẽ có ngẫu lực kéo nó về hướng của từ trường ngoài.